You are still mad. You need to calm down before you meet him.

あなた、まだ怒ってるのね。彼に会うまえに落ち着かなきゃ。（calm down：＜人が＞落ち着く。＜物･事が＞静まる）

I don't care for his manner of talking.

彼のしゃべり方、気に入らないわ。（not care for：気に入らない、嫌い）

Finally, Peter's car caught up with Mark's car.

ピーターの車がやっとマークの車に追いついたんだ。（catch up with A：A＜人、事物＞に追いつく。A＜人＞に悪い結果をもたらす）

We checked in that beautiful hotel.

私たち、その美しいホテルにチェックインしたのよ。（check in：＜ホテルなどで＞チェックインする。＜空港で＞搭乗手続きをする）

They had to check out of the ryokan before 9:00 am.

彼らは旅館を朝９時までに出なきゃならなかったんだ。（check out：チェックアウトする）